Расчет самозатопления карьера

Решил поделиться одной своей наработкой из области горной гидрогеологии. Заранее оговорюсь: этот подход совершенно неуниверсален и крайне маловероятно, что получится его применить еще где-нибудь.

Постановка задачи:

Есть карьер, расположенный склоне небольшой горы (высотой примерно 800 метров). Глубина карьера составляет 550 м (абсолютная отметка дна карьера равна 410 м). Под горой протекает река с абсолютной отметкой уреза — 450 м. Расстояние от карьера до реки в среднем составляет 80 м. Периметр подгорной части карьера равен 100 м. Особенности рельефа нагорной части позволяют утверждать, что все атмосферные осадки в пределах области водосбора за вычетом испарения будут поступать только в карьер при любом уровне воды в нем. Области подземного и поверхностного водосбора совпадают. Водоупор находится на глубине 550 м и что важно — рельеф его кровли полностью повторяет рельеф поверхности.

Задача:

Надо посчитать за какой срок после окончания разработки и процедур осушения карьер наполнится водой и до какой отметки.

Решение:

Ну, с водопритоком с нагорной части все понятно:

Q_n=\left (\omega -\varphi \right )\cdot S...(1)
где:

• ω – среднегодовые атмосферные осадки;
• φ – испарение;
• S – площадь водосбора.

Воде на склоне некуда деваться и она либо поверхностным, либо подземным стоком неминуемо притечет в карьер. Чтоб увязать Q_n и q₁ из рисунка — надо разделить Q_n на периметр нагорной части карьера, но для расчета это не нужно.

Водоприток с подгорной части происходит за счет фильтрации подземных вод в/из реки. Приток (отток) подземных вод связан с уровнем воды в реке следующим выражением (при отсутствии поверхностнго стока, см. рисунок):

q_2=k\frac{h_{0}+h_{L}}{2}\cdot\frac{H_0-H_L}{L}-\frac{b(\omega -\varphi )}{2}L...(2)
где:

• q₂ – удельный расход потока;
• k – коэффициент фильтрации;
• h₀ – мощность потока вблизи карьера;
• h_L – мощность потока вблизи ручья;
• H₀ – уровень воды в карьере;
• H_L – уровень воды в ручье;
• L – расстояние между карьером и ручьем;
• b – коэффициент стока.

В данном выражении я увязал вместе две известных зависимости для фильтрации между двумя разноуровенными водоемами: при наклонном водоупоре и при наличии инфильтрации.

Формула приведена для расчета удельного расхода потока, для получения величины водопритока (Q_p) в карьер удельный расход должен быть умножен на периметр подгорной части карьера (P):

Q_p=q \cdot P...(3)

Дальше, казалось бы, задача превращается в очевидную: приравнять выражения (1) и (2) с учетом (3), но увы, тут нас ждет подвох. Дело в том, что выражении (2) присутствует величина H₀ (уровень воды в карьере), которая вообще-то зависит от объема притекшей на заданный момент времени воды в карьер, т.е. эта величина динамически изменяется в зависимости от текущего соотношения Q_p и Q_n. К тому же h₀ ( мощность потока вблизи карьера) равна в нашем безнапорном случае:

h_0 = H_0 - H_v...(4)
где:

• H_v – абсолютная отметка кровли водоупора на краю карьера, обращенном к реке;

Таким образом, мы приходим к классической ситуации: расход зависит от напора, а напор от расхода. Решение я опущу в силу его громоздкости, но поясню суть (если кому интересно, xls-ку можно скачать по ссылке: drive.google.com..., только не просите меня объяснить, как оно работает). Основные положения:

1. Зависимость уровня от объема поступившей воды — ступенчатая, в силу ступенчатости бортов карьера (на рисунке этого не видно, я поленился рисовать уступы).
2. Между «ступеньками» эта зависимость — линейная. Ну, тоже понятно, борта уступов почти линейны и имеют небольшой наклон. Тут я просто вытряс из проектировщиков объемы карьера на заданных отметках (кромках уступов) — предложил было аппроксимировать борт карьера усеченным конусом, но получил по рогам.
3. Выбираем шаг по времени Δt.
4. По формулам (1) и (2,3) считаем объем воды (Q_n + Q_p), поступивший в карьер к моменту времени Δt.
5. По выявленной ранее зависимости уровня воды в карьере от объема поступившей в него воды получаем новый уровень H₀.
6. Считаем водоприток, подставляя в выражение (2) уже новое значение H₀. Объем поступившей воды в карьер соответствует моменту времени 2Δt.
7. Повторяем последние два пункта пока не достигнем «стационара», т.е. до того момента, пока водоприток в нагорной части не уравняется с оттоком в сторону реки. Получаем искомую равновесную отметку воды в карьере и момент времени nΔt, когда произошло это радостное событие.
8. Попутно отмечаем момент, когда q₂ в выражении (2) меняет знак, т.е. подземный приток от реки сменяется на отток.

Краткий итог:

• Насколько я знаю, такая схема называется явной. Очевидно, она чувствительна к выбору шага по времени Δt.
• Важно помнить, что равновесный уровень воды в карьере теоретически может оказаться выше нижней кромки карьера, т.е. вода просто начнет переливаться через край и уйдет в реку поверхностным стоком (у меня на одном из карьеров так и случилось), и тут возникает большая неприятность с величиной ω-φ, но учитывать еще и это мне показалось совсем уж крохоборством.
• А еще там периметр P зависит от H₀ (при подъеме уровня в образующемся озере, очевидно, растет и его периметр) — это я тоже не стал учитывать, а вообще следовало бы т.к. результат оказался очень чувствителен к этому параметру.
• Этот нехитрый расчет вроде бы не очень сложно запихнуть в тот же MODFLOW, но я пока не обдумывал детали — наверняка всплывет какая-нибудь заковыка.

Вот и все. Если что непонятно — спрашивайте. Заметили ошибки — ругайте.