Thursday, June 14, 2012

Моделирование водозаборных скважин

При моделировании водозаборов или скважинного водопонижения часто возникает необходимость (да что там часто — почти всегда) в получении точного уровня воды в действующей скважине. Очевидно, что просто взяв напор в блоке со скважиной, мы получим недостаточно точное значение. Как же перейти от напора в модельном блоке к напору непосредственно в скважине. Достаточно просто, процитирую статью Р.С.Штенгелова «Поиски и разведка подземных вод»:

...остановимся на моделировании работы водозаборов. Оно применяется, если необходимо учесть выявленные при разведке особенности неоднородного распределения параметров, сложные граничные условия, структуру потока и др., которые явно не удается безболезненно упростить для аналитических расчетов. Принципиально моделирование "водозаборных" задач ничем не отличается от других. Специфика состоит лишь в обязательном наличии водозаборных скважин (хотя они могут быть и в других задачах - дренажи, закачка промстоков, подземное выщелачивание и т.п.).

Основная особенность моделирования скважин: если в блок модели подать дебит скважины Q0 , то в нем при решении будет получен напор HB(или понижение SB), не отвечающий реальному напору (понижению) в скважине Hc(Sc). Почему ?

В природе поток в непосредственной близости от скважины имеет практически радиальный характер, а распределение напоров подчиняется логарифмике Дюпюи:

(1) H^{*} - H_{c} = \frac{Q_{c}}{2\pi T}ln\frac{\Delta x}{r_{c}}

В отличие от этого, на модели "приток" к водозаборному блоку происходит в виде линейных потоков из четырех смежных блоков (см. рисунок); расход каждого из таких потоков:

Q=KFI=Km\Delta x\frac{H^*-H_{B}}{\Delta x}

Так как Q=\frac{1}{4}Q_c, то:

(2) H^* - H_{B} = 0.25\frac{Q_c}{T}

Если теперь почленно вычесть (2) из (1), то:

(3) H_{B}-H_{c}=S_{c}-S_{B}=\frac{Q_c}{T}\left(\frac{1}{2\pi}ln\frac{\Delta x}{r_{c}}-0.25\right)

Таким образом, к напору/понижению, получаемому в «скважинном» блоке, следует сделать поправку по формуле (3). Особенно об этом надо помнить при работе с «чужими» программами численного моделирования, для которых, как правило, нет внятного описания многих деталей построения расчетных алгоритмов. Решить эту проблему (а это действительно проблема, так как разность может быть весьма значительной) можно только путем тестирования программы по аналитическим решениям.

При конструировании модельной сетки следует стремиться к квадратной разбивке в области расположения скважин, стараясь «посадить» скважины в узлы блоков.

Еще одно замечание: если в один блок сетки модели попадают несколько работающих водозаборных скважин, то их приходится объединять в одну эквивалентную, т.е. заменять их «большим колодцем» с суммарным дебитом, рассчитав его радиус по вышерассмотренным зависимостям.


Характер притока к водозаборной скважине в РЕАЛЬНОМ (синие стрелки) фильтрационном потоке и на СЕТОЧНОЙ МОДЕЛИ (черные стрелки)

Из выражения (3) так же следует, что если вы не хотите каждый раз пересчитывать «сеточный» напор в «скважинный», то размер блока модели\Delta x, при котором теоретически H_{B}=H_{c}, следует задавать таким:

\Delta x=e^{0.5\pi}r_{c}\approx 4.81r_{c}

Таким образом, если радиус нашей скважины составляет r_c=125 мм, то размер «скважинного блока» модели должен быть равен приблизительно 0.6 м. Не очень то много — так дробить сетку не каждая модель позволит.

P.S.: в книге “FINITE-DIFFERENCE MODEL FOR AQUIFER SIMULATION IN TWO DIMENSIONS WITH RESULTS OF NUMERICAL EXPERIMENTS” By P. C. Trescott, G. F. Pinder, and S. P. Larson на 9 и 10 странице приводится похожее решение этой задачи.

12 comments:

  1. Удивительное рядом!

    ReplyDelete
  2. Эти результаты ОЧЕНЬ приблизительны! При расчете, например, с разбивкой 2 х 2 м, r скв = 0,073, разница получилась 0,55, что маловероятно.

    ReplyDelete
  3. Дебит 30 куб. метров/час

    ReplyDelete
    Replies
    1. А модель какая? MODFLOW?
      Вообще, если используется пакет WELL (а не multinode well package (MNW2), к примеру), то на уровне ощущений - вполне правдоподобно. Расход то очень немаленький. С другой стороны, эта формула может быть не очень точна при малых размерах блока.

      Delete
  4. Скажите, пожалуйста, для тех, кто не хочет (или не может) думать, как в расчете учесть прямоугольную сетку. Спасибо.

    ReplyDelete
    Replies
    1. А чем статья, приведенная выше, не подходит?
      Либо я не совсем понимаю, в каком расчете надо учесть прямоугольную сетку.

      Delete
    2. А, кажется понял. В статье постулируется, что Δx=Δy, что в общем случае не совсем так.
      Берите среднее значение (Δx+Δy)/2 - не сильно ошибетесь. Но вообще, лучше делать сетку квадратной вблизи скважин. Если сетка сильно прямоугольная, т.е. Δx>>Δy, то модельный поток вблизи скважины становится совсем не радиальным, а это приводит к существенным неточностям.

      Delete
    3. ой, не увидела ваш комментарий. да. дело в том, что у меня модель сама сильно прямоугольная из-за непроницаемой границы, а помня условие х:у не менее 1:3, квадратная сетка не очень получается. т.е. либо пренебрегать последним, либо делать пересчет на прямоугольную сетку. в принципе, путем некоторых манипуляций, можно учесть это в формулах. вопрос о правомерности такого расчета... а среднее как-то не очень хочется брать, так как у=2х и я ее уже в середине достаточно сильно укрупнила.

      Delete
  5. Ну, кажись, вывела. Спасибо :) просто думать не хотелось...

    ReplyDelete
  6. Александр, хорошая заметка. Есть одно маленькое но. Формула Дюпюи применима в случае стационарной однородной изотропной фильтрации. К сожалению, как у меня сложилось впечатление, проблема моделирования даже вертикальных совершенных скважин, ещё не решена как хотелось бы в известных пакетах. Логарифмический характер напора (давления) вблизи скважины не позволяет с хорошей точностью вычислять конечными разностями модели. Правда существуют и другие способы (поправочные коэффициенты в частности известных мне), но почему то они не получили широко распространения в пакетах.

    ReplyDelete
    Replies
    1. Ну в общем-то никто не обещал 100% попадания в аналитическое решение. Так, как первое приближение. Очевидно же, что при достаточно больших Δx модель будет давать заниженную величину понижения и вполне логично как-нибудь его увеличить какой-нибудь поправкой.

      Помнится, я проводил эксперименты с этой поправкой и уперся в проблему, что она дает точное решение (совпадающее с аналитическим расчетом) только при определенном соотношении Δx и Q. Т.е. с чем боролись, на то и напоролись.

      Delete